Matemática discreta Ejemplos

$x - 3 y = 9$ , $3 x - y = 7$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = 9 - x$

Paso 1.3

Divide cada término en $- 3 y = 9 - x$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $- 3 y = 9 - x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Divide $9$ por $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- x}{- 3}$

Paso 1.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - 3 + \frac{x}{3}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $- 3$ y $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 3$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x - 3$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{1}{3}$ .

$m_{1} = \frac{1}{3}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = 7 - 3 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $- y = 7 - 3 x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- y = 7 - 3 x$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide $7$ por $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- 3 x}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y = - 7 - 1 \cdot (- 3 x)$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (- 3 x)$ como $- (- 3 x)$ .

$y = - 7 - (- 3 x)$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = - 7 + 3 x$

Paso 3.4

Reordena $- 7$ y $3 x$ .

$y = 3 x - 7$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $3$ .

$m_{2} = 3$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$x - 3 y = 9, 3 x - y = 7$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9 + 3 y$

$3 x - y = 7$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $9 + 3 y$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - y = 7$ por $9 + 3 y$ .

$3 (9 + 3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $3 (9 + 3 y) - y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 9 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$27 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.2.2.1.2

Resta $y$ de $9 y$ .

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $27 + 8 y = 7$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = 7 - 27$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.1.2

Resta $27$ de $7$ .

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $8 y = - 20$ por $8$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $8 y = - 20$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $8$ .

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Paso 6.3.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$y = \frac{4 (- 5)}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{5}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 9 + 3 y$ por $- \frac{5}{2}$ .

$x = 9 + 3 (- \frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $9 + 3 (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Multiplica $3 (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = 9 - 3 (\frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{5}{2}$ .

$x = 9 + \frac{- 3 \cdot 5}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.1.1.3

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.3

Combina $9$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{9 \cdot 2 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.5.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$x = \frac{18 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.5.2

Resta $15$ de $18$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Paso 8